我们看所有偶数作成的环R.证明，（4)是R的一个最大理想，但R/（4)不是一个域。

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证明，由所有实数（a,b是整数)作成的集合R对于普邇加法和乘法来说是一个整环。
证明，由所有实数(a,b是整数)作成的集合R对于普邇加法和乘法来说是一个整环。

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假定我们有一个环R的一个分类，而S是由所有的类[a], [b]，[c]，....所作成的集合。又假定规定两个S
假定我们有一个环R的一个分类，而S是由所有的类[a], [b]，[c]，....所作成的集合。又假定

规定两个S的代数运算。证明，[0]是R的一个理想，并且给定的类刚好是模[0]的R的剩余类.

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假定S是一个集合A的所有变换作成的集合。我们暂时仍用符号τ₁ a→a'=τ（a)来说明一个
假定S是一个集合A的所有变换作成的集合。我们暂时仍用符号
τ₁ a→a'=τ(a)
来说明一个变换τ.证明，我们可以用.
τ₁τ₂ a→τ³[τ²(a)]=τ₁τ₂(a)
来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，ɛ还是S的单位元。

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我们看有理数域F上的全部2x2矩阵环F₂₂，证明，F₂₂只有零理想和单位理想，但不是一个除环

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假定R是由所有复数a+bi（a,b是整数)作成的环。环R/（1+i)有多少个元？

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假定A是所有实数作成的集合。证明，所有A的可以写成x→ax+b a和b是有理数，a≠0形式的变换作成一个变换群。这个群是不是一个交换群？

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一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;（i)所有有限个换位子的乘积作
一个群G的可以写成a^-1b^-1ab形式的元叫作换位子。证明;
(i)所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子样;
(ii)G/C是交换群;
(iii)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么


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证明，所有同n互素的模n的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群。 （同n互素的剩余类的个数普通用符号φ（n)来表示，并且把它叫作尤拉φ函数。)

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我们看一个集合A到集合`A的满射φ。证明,若A的子集S是`A的子集`S的逆象，`S一定是S的象;但若`S是S的象，S不一定是`S的逆象。

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假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的阶都有限，证明，H作成一个子群的充要条件是:


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假定[a]是模n的一个剩余类。证明，若a同n互素，那么所有[a]的数都同n互素。（这时我们说[a]同n互素]。)

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